Filtre

Recapitulare ELTH

Pentru a analiza filtrele, trebuie să ne amintim despre funcționarea elementelor de circuit în curent alternativ.

Condensatorul este caracterizat de următoarea impedanță:

\[ Z_C = - \frac{j}{\omega C} = - \frac{j}{2 \pi f C} \]

Bobina este caracterizată de următoarea impedanță:

\[ Z_L = j \omega L = j 2 \pi f L \]

Rezistențele au următoarea impedanță:

\[ Z_R = R \]

Observăm că pentru curent continuu ( $ \omega \rightarrow 0 $ ), condensatoarele au o impedanță infinită, în timp ce bobinele au imedanța zero.

Notații:

Legea lui Ohm și formulele pentru rezistența echivalentă în serie și paralel pot fi generalizate fără probleme, pentru a putea face analize în curent alternativ.

Filtre pasive - filtre RC

Filtrele sunt montaje care au răspuns diferit în funcție de frecvența (atenuarea semnalului este în funcție de frecvența de intrare).

Analiza în frecvență are sens doar dacă lucrăm cu semnale sinusoidale. Dacă semnalele nu sunt sinusoidale, folosim serii Fourier pentru a le descompune în sume de semnale sinusoidale. Analiza în frecvență are sens în cazul în care circuitul are doar componente liniare (ex: rezistențe, bobine, condensatori, A.O. , etc.). Dacă circuitul are cel puțin o componentă neliniară (ex: diodă, tranzistor, etc.), trebuie folosită altă metodă.

Filtru trece-sus

Observăm că pentru frecvențe joase ale semnalului de intrare, amplitudinea semnalului de ieșire este mai scazută.

Considerăm circuitul de mai sus.

Folosind formula divizorului de tensiune, calculăm tensiunea de ieșire:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ \left| R_{1} \right| }{ \left| R_{1} - \frac{j}{\omega C_{1}} \right| } \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ R_{1} }{ \sqrt{ R_{1}^{2} + \left( \frac{1}{\omega C_{1}} \right) ^{2} }} \]

Înlocuim cu valorile din circuit:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 10^3 }{ \sqrt{ 10^{6} + \left( \frac{1}{\omega 10^{-6}} \right) ^{2} }} \]

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 10^3 }{ \sqrt{ 10^{6} + \omega ^{-2} 10^{12} }} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 10^3 }{ \sqrt{ 10^{6} \left( 1 + \omega ^{-2} 10^{6} \right) }} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \omega ^{-2} 10^{6} }} \]

Ajungem la următorul rezultat:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \omega ^{-2} 10^{6} }} \]

Pentru a calcula frecvența de tăiere pentru exemplul de mai sus, trebuie să vedem la ce frecvență amplificarea ( $ V_{peak-out} / V_{peak-in} $ ) este egală cu 0.7.

\[ \frac{V_{peak-out}}{V_{peak-in}} = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \omega ^{-2} 10^{6} }} = 0.7 \]

\[ 0.7 * \sqrt{ 1 + \omega ^{-2} 10^{6} } = 1 \] \[ 0.7^2 * (1 + \omega ^{-2} 10^{6}) = 1 \] \[ 1 + \omega ^{-2} 10^{6} = 0.7^{-2} \] \[ \omega ^{-2} 10^{6} = 2.04 - 1 \] \[ \omega ^{-2} = 1.04 \cdot 10^{-6} \] \[ \omega ^{2} = 1.04^{-1} \cdot 10^{6} \] \[ \omega = 1.04^{-0.5} \cdot 10^{3} \] \[ \omega = 2 \pi f = 980 rad/s \] \[ f = 980 / 2 \pi \]

Ajungem la următorul rezultat:

\[ f = 156 Hz \]

Filtru trece-jos

Observăm că pentru frecvențe înalte ale semnalului de intrare, amplitudinea semnalului de ieșire este mai mică.

Calculăm ca și pentru cazul anterior:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ \left| -\frac{j}{\omega C_{1}} \right| }{ \left| R_{1} - \frac{j}{\omega C_{1}} \right| } \]

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{1}{\omega C_1} \frac{ 1 }{ \sqrt{ R_{1}^{2} + (\omega C_{1})^{-2} }} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{1}{\omega C_1} \frac{ 1 }{ \sqrt{ R_{1}^{2}(\omega C_{1})^2 (\omega C_{1})^{-2} + (\omega C_{1})^{-2} }} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{1}{\omega C_1} \frac{ 1 }{ \sqrt{ (\omega C_{1})^{-2} (R_{1}^{2}\omega ^2 C_{1}^2 + 1 )}} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \frac{ 1 }{ \sqrt{ R_{1}^{2}\omega ^2 C_{1}^2 + 1 }} \]

Deducem că:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \left( R_{1}^{2}\omega ^2 C_{1}^2 + 1 \right) ^{-0.5} \]

Înlocuim valorile din circuit:

\[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \left( 10^{6}\omega ^2 10^{-12} + 1 \right) ^{-0.5} \] \[ V_{peak-out} = V_{peak-in} * \left( 10^{-6}\omega ^2 + 1 \right) ^{-0.5} \]

Calculăm cutoff-frequency:

\[ \frac{V_{peak-out}}{V_{peak-in}} = \left( 10^{-6}\omega ^2 + 1 \right) ^{-0.5} = 0.7 \]

\[ 10^{-6}\omega ^2 + 1 = 0.7^{-2} \] \[ 10^{-6}\omega ^2 + 1 = 2.04 \] \[ 10^{-6}\omega ^2 = 1.04 \] \[ \omega^2 = 1.04 * 10^{6} \] \[ \omega = \sqrt{1.04 * 10^{6}} \] \[ \omega = 2 \pi f = 1020 rad/s \] \[ f = 1020 / 2\pi \]

Deducem că: \[ f = 162 Hz \]

Filtre active